3.931 \(\int x (a+b x)^n (c+d x)^3 \, dx\)

Optimal. Leaf size=154 \[ \frac{d^2 (3 b c-4 a d) (a+b x)^{n+4}}{b^5 (n+4)}-\frac{a (b c-a d)^3 (a+b x)^{n+1}}{b^5 (n+1)}+\frac{(b c-4 a d) (b c-a d)^2 (a+b x)^{n+2}}{b^5 (n+2)}+\frac{3 d (b c-2 a d) (b c-a d) (a+b x)^{n+3}}{b^5 (n+3)}+\frac{d^3 (a+b x)^{n+5}}{b^5 (n+5)} \]

[Out]

-((a*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n))) + ((b*c - 4*a*d)*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(2
+ n)) + (3*d*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(3 + n)) + (d^2*(3*b*c - 4*a*d)*(a + b*x)^(4 +
n))/(b^5*(4 + n)) + (d^3*(a + b*x)^(5 + n))/(b^5*(5 + n))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0763475, antiderivative size = 154, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 16, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.062, Rules used = {77} \[ \frac{d^2 (3 b c-4 a d) (a+b x)^{n+4}}{b^5 (n+4)}-\frac{a (b c-a d)^3 (a+b x)^{n+1}}{b^5 (n+1)}+\frac{(b c-4 a d) (b c-a d)^2 (a+b x)^{n+2}}{b^5 (n+2)}+\frac{3 d (b c-2 a d) (b c-a d) (a+b x)^{n+3}}{b^5 (n+3)}+\frac{d^3 (a+b x)^{n+5}}{b^5 (n+5)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[x*(a + b*x)^n*(c + d*x)^3,x]

[Out]

-((a*(b*c - a*d)^3*(a + b*x)^(1 + n))/(b^5*(1 + n))) + ((b*c - 4*a*d)*(b*c - a*d)^2*(a + b*x)^(2 + n))/(b^5*(2
+ n)) + (3*d*(b*c - 2*a*d)*(b*c - a*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^5*(3 + n)) + (d^2*(3*b*c - 4*a*d)*(a + b*x)^(4 +
n))/(b^5*(4 + n)) + (d^3*(a + b*x)^(5 + n))/(b^5*(5 + n))

Rule 77

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegran
d[(a + b*x)*(c + d*x)^n*(e + f*x)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && ((ILtQ[
n, 0] && ILtQ[p, 0]) || EqQ[p, 1] || (IGtQ[p, 0] && ( !IntegerQ[n] || LeQ[9*p + 5*(n + 2), 0] || GeQ[n + p + 1
, 0] || (GeQ[n + p + 2, 0] && RationalQ[a, b, c, d, e, f]))))

Rubi steps

\begin{align*} \int x (a+b x)^n (c+d x)^3 \, dx &=\int \left (\frac{a (-b c+a d)^3 (a+b x)^n}{b^4}+\frac{(b c-4 a d) (b c-a d)^2 (a+b x)^{1+n}}{b^4}+\frac{3 d (b c-2 a d) (b c-a d) (a+b x)^{2+n}}{b^4}+\frac{d^2 (3 b c-4 a d) (a+b x)^{3+n}}{b^4}+\frac{d^3 (a+b x)^{4+n}}{b^4}\right ) \, dx\\ &=-\frac{a (b c-a d)^3 (a+b x)^{1+n}}{b^5 (1+n)}+\frac{(b c-4 a d) (b c-a d)^2 (a+b x)^{2+n}}{b^5 (2+n)}+\frac{3 d (b c-2 a d) (b c-a d) (a+b x)^{3+n}}{b^5 (3+n)}+\frac{d^2 (3 b c-4 a d) (a+b x)^{4+n}}{b^5 (4+n)}+\frac{d^3 (a+b x)^{5+n}}{b^5 (5+n)}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.127659, size = 132, normalized size = 0.86 \[ \frac{(a+b x)^{n+1} \left (\frac{d^2 (a+b x)^3 (3 b c-4 a d)}{n+4}+\frac{3 d (a+b x)^2 (b c-2 a d) (b c-a d)}{n+3}+\frac{(a+b x) (b c-4 a d) (b c-a d)^2}{n+2}+\frac{a (a d-b c)^3}{n+1}+\frac{d^3 (a+b x)^4}{n+5}\right )}{b^5} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[x*(a + b*x)^n*(c + d*x)^3,x]

[Out]

((a + b*x)^(1 + n)*((a*(-(b*c) + a*d)^3)/(1 + n) + ((b*c - 4*a*d)*(b*c - a*d)^2*(a + b*x))/(2 + n) + (3*d*(b*c
- 2*a*d)*(b*c - a*d)*(a + b*x)^2)/(3 + n) + (d^2*(3*b*c - 4*a*d)*(a + b*x)^3)/(4 + n) + (d^3*(a + b*x)^4)/(5
+ n)))/b^5

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.009, size = 685, normalized size = 4.5 \begin{align*}{\frac{ \left ( bx+a \right ) ^{1+n} \left ({b}^{4}{d}^{3}{n}^{4}{x}^{4}+3\,{b}^{4}c{d}^{2}{n}^{4}{x}^{3}+10\,{b}^{4}{d}^{3}{n}^{3}{x}^{4}-4\,a{b}^{3}{d}^{3}{n}^{3}{x}^{3}+3\,{b}^{4}{c}^{2}d{n}^{4}{x}^{2}+33\,{b}^{4}c{d}^{2}{n}^{3}{x}^{3}+35\,{b}^{4}{d}^{3}{n}^{2}{x}^{4}-9\,a{b}^{3}c{d}^{2}{n}^{3}{x}^{2}-24\,a{b}^{3}{d}^{3}{n}^{2}{x}^{3}+{b}^{4}{c}^{3}{n}^{4}x+36\,{b}^{4}{c}^{2}d{n}^{3}{x}^{2}+123\,{b}^{4}c{d}^{2}{n}^{2}{x}^{3}+50\,{b}^{4}{d}^{3}n{x}^{4}+12\,{a}^{2}{b}^{2}{d}^{3}{n}^{2}{x}^{2}-6\,a{b}^{3}{c}^{2}d{n}^{3}x-72\,a{b}^{3}c{d}^{2}{n}^{2}{x}^{2}-44\,a{b}^{3}{d}^{3}n{x}^{3}+13\,{b}^{4}{c}^{3}{n}^{3}x+147\,{b}^{4}{c}^{2}d{n}^{2}{x}^{2}+183\,{b}^{4}c{d}^{2}n{x}^{3}+24\,{d}^{3}{x}^{4}{b}^{4}+18\,{a}^{2}{b}^{2}c{d}^{2}{n}^{2}x+36\,{a}^{2}{b}^{2}{d}^{3}n{x}^{2}-a{b}^{3}{c}^{3}{n}^{3}-60\,a{b}^{3}{c}^{2}d{n}^{2}x-153\,a{b}^{3}c{d}^{2}n{x}^{2}-24\,a{b}^{3}{d}^{3}{x}^{3}+59\,{b}^{4}{c}^{3}{n}^{2}x+234\,{b}^{4}{c}^{2}dn{x}^{2}+90\,{b}^{4}c{d}^{2}{x}^{3}-24\,{a}^{3}b{d}^{3}nx+6\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}d{n}^{2}+108\,{a}^{2}{b}^{2}c{d}^{2}nx+24\,{a}^{2}{b}^{2}{d}^{3}{x}^{2}-12\,a{b}^{3}{c}^{3}{n}^{2}-174\,a{b}^{3}{c}^{2}dnx-90\,a{b}^{3}c{d}^{2}{x}^{2}+107\,{b}^{4}{c}^{3}nx+120\,{b}^{4}{c}^{2}d{x}^{2}-18\,{a}^{3}bc{d}^{2}n-24\,{a}^{3}b{d}^{3}x+54\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}dn+90\,{a}^{2}{b}^{2}c{d}^{2}x-47\,a{b}^{3}{c}^{3}n-120\,a{b}^{3}{c}^{2}dx+60\,{b}^{4}{c}^{3}x+24\,{a}^{4}{d}^{3}-90\,{a}^{3}bc{d}^{2}+120\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}d-60\,a{b}^{3}{c}^{3} \right ) }{{b}^{5} \left ({n}^{5}+15\,{n}^{4}+85\,{n}^{3}+225\,{n}^{2}+274\,n+120 \right ) }} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x*(b*x+a)^n*(d*x+c)^3,x)

[Out]

(b*x+a)^(1+n)*(b^4*d^3*n^4*x^4+3*b^4*c*d^2*n^4*x^3+10*b^4*d^3*n^3*x^4-4*a*b^3*d^3*n^3*x^3+3*b^4*c^2*d*n^4*x^2+
33*b^4*c*d^2*n^3*x^3+35*b^4*d^3*n^2*x^4-9*a*b^3*c*d^2*n^3*x^2-24*a*b^3*d^3*n^2*x^3+b^4*c^3*n^4*x+36*b^4*c^2*d*
n^3*x^2+123*b^4*c*d^2*n^2*x^3+50*b^4*d^3*n*x^4+12*a^2*b^2*d^3*n^2*x^2-6*a*b^3*c^2*d*n^3*x-72*a*b^3*c*d^2*n^2*x
^2-44*a*b^3*d^3*n*x^3+13*b^4*c^3*n^3*x+147*b^4*c^2*d*n^2*x^2+183*b^4*c*d^2*n*x^3+24*b^4*d^3*x^4+18*a^2*b^2*c*d
^2*n^2*x+36*a^2*b^2*d^3*n*x^2-a*b^3*c^3*n^3-60*a*b^3*c^2*d*n^2*x-153*a*b^3*c*d^2*n*x^2-24*a*b^3*d^3*x^3+59*b^4
*c^3*n^2*x+234*b^4*c^2*d*n*x^2+90*b^4*c*d^2*x^3-24*a^3*b*d^3*n*x+6*a^2*b^2*c^2*d*n^2+108*a^2*b^2*c*d^2*n*x+24*
a^2*b^2*d^3*x^2-12*a*b^3*c^3*n^2-174*a*b^3*c^2*d*n*x-90*a*b^3*c*d^2*x^2+107*b^4*c^3*n*x+120*b^4*c^2*d*x^2-18*a
^3*b*c*d^2*n-24*a^3*b*d^3*x+54*a^2*b^2*c^2*d*n+90*a^2*b^2*c*d^2*x-47*a*b^3*c^3*n-120*a*b^3*c^2*d*x+60*b^4*c^3*
x+24*a^4*d^3-90*a^3*b*c*d^2+120*a^2*b^2*c^2*d-60*a*b^3*c^3)/b^5/(n^5+15*n^4+85*n^3+225*n^2+274*n+120)

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.07656, size = 495, normalized size = 3.21 \begin{align*} \frac{{\left (b^{2}{\left (n + 1\right )} x^{2} + a b n x - a^{2}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n} c^{3}}{{\left (n^{2} + 3 \, n + 2\right )} b^{2}} + \frac{3 \,{\left ({\left (n^{2} + 3 \, n + 2\right )} b^{3} x^{3} +{\left (n^{2} + n\right )} a b^{2} x^{2} - 2 \, a^{2} b n x + 2 \, a^{3}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n} c^{2} d}{{\left (n^{3} + 6 \, n^{2} + 11 \, n + 6\right )} b^{3}} + \frac{3 \,{\left ({\left (n^{3} + 6 \, n^{2} + 11 \, n + 6\right )} b^{4} x^{4} +{\left (n^{3} + 3 \, n^{2} + 2 \, n\right )} a b^{3} x^{3} - 3 \,{\left (n^{2} + n\right )} a^{2} b^{2} x^{2} + 6 \, a^{3} b n x - 6 \, a^{4}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n} c d^{2}}{{\left (n^{4} + 10 \, n^{3} + 35 \, n^{2} + 50 \, n + 24\right )} b^{4}} + \frac{{\left ({\left (n^{4} + 10 \, n^{3} + 35 \, n^{2} + 50 \, n + 24\right )} b^{5} x^{5} +{\left (n^{4} + 6 \, n^{3} + 11 \, n^{2} + 6 \, n\right )} a b^{4} x^{4} - 4 \,{\left (n^{3} + 3 \, n^{2} + 2 \, n\right )} a^{2} b^{3} x^{3} + 12 \,{\left (n^{2} + n\right )} a^{3} b^{2} x^{2} - 24 \, a^{4} b n x + 24 \, a^{5}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n} d^{3}}{{\left (n^{5} + 15 \, n^{4} + 85 \, n^{3} + 225 \, n^{2} + 274 \, n + 120\right )} b^{5}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x*(b*x+a)^n*(d*x+c)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

(b^2*(n + 1)*x^2 + a*b*n*x - a^2)*(b*x + a)^n*c^3/((n^2 + 3*n + 2)*b^2) + 3*((n^2 + 3*n + 2)*b^3*x^3 + (n^2 +
n)*a*b^2*x^2 - 2*a^2*b*n*x + 2*a^3)*(b*x + a)^n*c^2*d/((n^3 + 6*n^2 + 11*n + 6)*b^3) + 3*((n^3 + 6*n^2 + 11*n
+ 6)*b^4*x^4 + (n^3 + 3*n^2 + 2*n)*a*b^3*x^3 - 3*(n^2 + n)*a^2*b^2*x^2 + 6*a^3*b*n*x - 6*a^4)*(b*x + a)^n*c*d^
2/((n^4 + 10*n^3 + 35*n^2 + 50*n + 24)*b^4) + ((n^4 + 10*n^3 + 35*n^2 + 50*n + 24)*b^5*x^5 + (n^4 + 6*n^3 + 11
*n^2 + 6*n)*a*b^4*x^4 - 4*(n^3 + 3*n^2 + 2*n)*a^2*b^3*x^3 + 12*(n^2 + n)*a^3*b^2*x^2 - 24*a^4*b*n*x + 24*a^5)*
(b*x + a)^n*d^3/((n^5 + 15*n^4 + 85*n^3 + 225*n^2 + 274*n + 120)*b^5)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 1.65487, size = 1578, normalized size = 10.25 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x*(b*x+a)^n*(d*x+c)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-(a^2*b^3*c^3*n^3 + 60*a^2*b^3*c^3 - 120*a^3*b^2*c^2*d + 90*a^4*b*c*d^2 - 24*a^5*d^3 - (b^5*d^3*n^4 + 10*b^5*d
^3*n^3 + 35*b^5*d^3*n^2 + 50*b^5*d^3*n + 24*b^5*d^3)*x^5 - (90*b^5*c*d^2 + (3*b^5*c*d^2 + a*b^4*d^3)*n^4 + 3*(
11*b^5*c*d^2 + 2*a*b^4*d^3)*n^3 + (123*b^5*c*d^2 + 11*a*b^4*d^3)*n^2 + 3*(61*b^5*c*d^2 + 2*a*b^4*d^3)*n)*x^4 -
(120*b^5*c^2*d + 3*(b^5*c^2*d + a*b^4*c*d^2)*n^4 + 4*(9*b^5*c^2*d + 6*a*b^4*c*d^2 - a^2*b^3*d^3)*n^3 + 3*(49*
b^5*c^2*d + 17*a*b^4*c*d^2 - 4*a^2*b^3*d^3)*n^2 + 2*(117*b^5*c^2*d + 15*a*b^4*c*d^2 - 4*a^2*b^3*d^3)*n)*x^3 +
6*(2*a^2*b^3*c^3 - a^3*b^2*c^2*d)*n^2 - (60*b^5*c^3 + (b^5*c^3 + 3*a*b^4*c^2*d)*n^4 + (13*b^5*c^3 + 30*a*b^4*c
^2*d - 9*a^2*b^3*c*d^2)*n^3 + (59*b^5*c^3 + 87*a*b^4*c^2*d - 54*a^2*b^3*c*d^2 + 12*a^3*b^2*d^3)*n^2 + (107*b^5
*c^3 + 60*a*b^4*c^2*d - 45*a^2*b^3*c*d^2 + 12*a^3*b^2*d^3)*n)*x^2 + (47*a^2*b^3*c^3 - 54*a^3*b^2*c^2*d + 18*a^
4*b*c*d^2)*n - (a*b^4*c^3*n^4 + 6*(2*a*b^4*c^3 - a^2*b^3*c^2*d)*n^3 + (47*a*b^4*c^3 - 54*a^2*b^3*c^2*d + 18*a^
3*b^2*c*d^2)*n^2 + 6*(10*a*b^4*c^3 - 20*a^2*b^3*c^2*d + 15*a^3*b^2*c*d^2 - 4*a^4*b*d^3)*n)*x)*(b*x + a)^n/(b^5
*n^5 + 15*b^5*n^4 + 85*b^5*n^3 + 225*b^5*n^2 + 274*b^5*n + 120*b^5)

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 13.1645, size = 7606, normalized size = 49.39 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x*(b*x+a)**n*(d*x+c)**3,x)

[Out]

Piecewise((a**n*(c**3*x**2/2 + c**2*d*x**3 + 3*c*d**2*x**4/4 + d**3*x**5/5), Eq(b, 0)), (12*a**6*d**3*log(a/b
+ x)/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 7*a**6*d**3
/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 48*a**5*b*d**3*
x*log(a/b + x)/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 1
6*a**5*b*d**3*x/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) +
72*a**4*b**2*d**3*x**2*log(a/b + x)/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 1
2*a**2*b**9*x**4) - a**3*b**3*c**3/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12
*a**2*b**9*x**4) + 48*a**3*b**3*d**3*x**3*log(a/b + x)/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48
*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) - 24*a**3*b**3*d**3*x**3/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x*
*2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) - 4*a**2*b**4*c**3*x/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7
*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 12*a**2*b**4*d**3*x**4*log(a/b + x)/(12*a**6*b**5 + 48*a**5*b
**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) - 18*a**2*b**4*d**3*x**4/(12*a**6*b**5 + 48
*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 12*a*b**5*c**2*d*x**3/(12*a**6*b**
5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 9*a*b**5*c*d**2*x**4/(12*a**
6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4) + 3*b**6*c**2*d*x**4/(12*
a**6*b**5 + 48*a**5*b**6*x + 72*a**4*b**7*x**2 + 48*a**3*b**8*x**3 + 12*a**2*b**9*x**4), Eq(n, -5)), (-24*a**5
*d**3*log(a/b + x)/(6*a**4*b**5 + 18*a**3*b**6*x + 18*a**2*b**7*x**2 + 6*a*b**8*x**3) - 20*a**5*d**3/(6*a**4*b
**5 + 18*a**3*b**6*x + 18*a**2*b**7*x**2 + 6*a*b**8*x**3) + 18*a**4*b*c*d**2*log(a/b + x)/(6*a**4*b**5 + 18*a*
*3*b**6*x + 18*a**2*b**7*x**2 + 6*a*b**8*x**3) + 15*a**4*b*c*d**2/(6*a**4*b**5 + 18*a**3*b**6*x + 18*a**2*b**7
*x**2 + 6*a*b**8*x**3) - 72*a**4*b*d**3*x*log(a/b + x)/(6*a**4*b**5 + 18*a**3*b**6*x + 18*a**2*b**7*x**2 + 6*a
*b**8*x**3) - 36*a**4*b*d**3*x/(6*a**4*b**5 + 18*a**3*b**6*x + 18*a**2*b**7*x**2 + 6*a*b**8*x**3) + 54*a**3*b*
*2*c*d**2*x*log(a/b + x)/(6*a**4*b**5 + 18*a**3*b**6*x + 18*a**2*b**7*x**2 + 6*a*b**8*x**3) + 27*a**3*b**2*c*d
**2*x/(6*a**4*b**5 + 18*a**3*b**6*x + 18*a**2*b**7*x**2 + 6*a*b**8*x**3) - 72*a**3*b**2*d**3*x**2*log(a/b + x)
/(6*a**4*b**5 + 18*a**3*b**6*x + 18*a**2*b**7*x**2 + 6*a*b**8*x**3) - a**2*b**3*c**3/(6*a**4*b**5 + 18*a**3*b*
*6*x + 18*a**2*b**7*x**2 + 6*a*b**8*x**3) + 54*a**2*b**3*c*d**2*x**2*log(a/b + x)/(6*a**4*b**5 + 18*a**3*b**6*
x + 18*a**2*b**7*x**2 + 6*a*b**8*x**3) - 24*a**2*b**3*d**3*x**3*log(a/b + x)/(6*a**4*b**5 + 18*a**3*b**6*x + 1
8*a**2*b**7*x**2 + 6*a*b**8*x**3) + 24*a**2*b**3*d**3*x**3/(6*a**4*b**5 + 18*a**3*b**6*x + 18*a**2*b**7*x**2 +
6*a*b**8*x**3) - 3*a*b**4*c**3*x/(6*a**4*b**5 + 18*a**3*b**6*x + 18*a**2*b**7*x**2 + 6*a*b**8*x**3) + 18*a*b*
*4*c*d**2*x**3*log(a/b + x)/(6*a**4*b**5 + 18*a**3*b**6*x + 18*a**2*b**7*x**2 + 6*a*b**8*x**3) - 18*a*b**4*c*d
**2*x**3/(6*a**4*b**5 + 18*a**3*b**6*x + 18*a**2*b**7*x**2 + 6*a*b**8*x**3) + 6*a*b**4*d**3*x**4/(6*a**4*b**5
+ 18*a**3*b**6*x + 18*a**2*b**7*x**2 + 6*a*b**8*x**3) + 6*b**5*c**2*d*x**3/(6*a**4*b**5 + 18*a**3*b**6*x + 18*
a**2*b**7*x**2 + 6*a*b**8*x**3), Eq(n, -4)), (12*a**4*d**3*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**
2) + 18*a**4*d**3/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - 18*a**3*b*c*d**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*
b**6*x + 2*b**7*x**2) - 27*a**3*b*c*d**2/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 24*a**3*b*d**3*x*log(a/b +
x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 24*a**3*b*d**3*x/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 6*a
**2*b**2*c**2*d*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 9*a**2*b**2*c**2*d/(2*a**2*b**5 + 4*a*
b**6*x + 2*b**7*x**2) - 36*a**2*b**2*c*d**2*x*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - 36*a**2*
b**2*c*d**2*x/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 12*a**2*b**2*d**3*x**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*
a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - a*b**3*c**3/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 12*a*b**3*c**2*d*x*log(a/b +
x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 12*a*b**3*c**2*d*x/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - 18
*a*b**3*c*d**2*x**2*log(a/b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - 4*a*b**3*d**3*x**3/(2*a**2*b**5 +
4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) - 2*b**4*c**3*x/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 6*b**4*c**2*d*x**2*log(a/
b + x)/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2) + 6*b**4*c*d**2*x**3/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2)
+ b**4*d**3*x**4/(2*a**2*b**5 + 4*a*b**6*x + 2*b**7*x**2), Eq(n, -3)), (-24*a**4*d**3*log(a/b + x)/(6*a*b**5 +
6*b**6*x) - 24*a**4*d**3/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) + 54*a**3*b*c*d**2*log(a/b + x)/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) + 54*a**
3*b*c*d**2/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) - 24*a**3*b*d**3*x*log(a/b + x)/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) - 36*a**2*b**2*c**2*d*l
og(a/b + x)/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) - 36*a**2*b**2*c**2*d/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) + 54*a**2*b**2*c*d**2*x*log(a/b
+ x)/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) + 12*a**2*b**2*d**3*x**2/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) + 6*a*b**3*c**3*log(a/b + x)/(6*a*b*
*5 + 6*b**6*x) + 6*a*b**3*c**3/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) - 36*a*b**3*c**2*d*x*log(a/b + x)/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) -
27*a*b**3*c*d**2*x**2/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) - 4*a*b**3*d**3*x**3/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) + 6*b**4*c**3*x*log(a/
b + x)/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) + 18*b**4*c**2*d*x**2/(6*a*b**5 + 6*b**6*x) + 9*b**4*c*d**2*x**3/(6*a*b**5 + 6*b*
*6*x) + 2*b**4*d**3*x**4/(6*a*b**5 + 6*b**6*x), Eq(n, -2)), (a**4*d**3*log(a/b + x)/b**5 - 3*a**3*c*d**2*log(a
/b + x)/b**4 - a**3*d**3*x/b**4 + 3*a**2*c**2*d*log(a/b + x)/b**3 + 3*a**2*c*d**2*x/b**3 + a**2*d**3*x**2/(2*b
**3) - a*c**3*log(a/b + x)/b**2 - 3*a*c**2*d*x/b**2 - 3*a*c*d**2*x**2/(2*b**2) - a*d**3*x**3/(3*b**2) + c**3*x
/b + 3*c**2*d*x**2/(2*b) + c*d**2*x**3/b + d**3*x**4/(4*b), Eq(n, -1)), (24*a**5*d**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5
+ 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 18*a**4*b*c*d**2*n*(a + b*x)**n/(b**5
*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 90*a**4*b*c*d**2*(a + b*x)**n/(
b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 24*a**4*b*d**3*n*x*(a + b*x
)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 6*a**3*b**2*c**2*d*n*
*2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 54*a**3*b*
*2*c**2*d*n*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 1
20*a**3*b**2*c**2*d*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b
**5) + 18*a**3*b**2*c*d**2*n**2*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*
b**5*n + 120*b**5) + 90*a**3*b**2*c*d**2*n*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*
n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 12*a**3*b**2*d**3*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n
**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 12*a**3*b**2*d**3*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4
+ 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - a**2*b**3*c**3*n**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b*
*5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 12*a**2*b**3*c**3*n**2*(a + b*x)**n/(b**5*n*
*5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 47*a**2*b**3*c**3*n*(a + b*x)**n/(
b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 60*a**2*b**3*c**3*(a + b*x)
**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 6*a**2*b**3*c**2*d*n**
3*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 54*a**2*b
**3*c**2*d*n**2*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**
5) - 120*a**2*b**3*c**2*d*n*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5
*n + 120*b**5) - 9*a**2*b**3*c*d**2*n**3*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5
*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 54*a**2*b**3*c*d**2*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**
5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 45*a**2*b**3*c*d**2*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5
*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 4*a**2*b**3*d**3*n**3*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*
n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 12*a**2*b**3*d**3*n**2*x**3*(a +
b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) - 8*a**2*b**3*d**3*
n*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + a*b**4
*c**3*n**4*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) +
12*a*b**4*c**3*n**3*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120
*b**5) + 47*a*b**4*c**3*n**2*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**
5*n + 120*b**5) + 60*a*b**4*c**3*n*x*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 2
74*b**5*n + 120*b**5) + 3*a*b**4*c**2*d*n**4*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*
b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 30*a*b**4*c**2*d*n**3*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b*
*5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 87*a*b**4*c**2*d*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**
5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 60*a*b**4*c**2*d*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n*
*5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 3*a*b**4*c*d**2*n**4*x**3*(a + b*x
)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 24*a*b**4*c*d**2*n**3
*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 51*a*b*
*4*c*d**2*n**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b
**5) + 30*a*b**4*c*d**2*n*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**
5*n + 120*b**5) + a*b**4*d**3*n**4*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2
+ 274*b**5*n + 120*b**5) + 6*a*b**4*d**3*n**3*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225
*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 11*a*b**4*d**3*n**2*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**
5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 6*a*b**4*d**3*n*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4
+ 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + b**5*c**3*n**4*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**
5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 13*b**5*c**3*n**3*x**2*(a + b*x)**n/(b**5*n**
5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 59*b**5*c**3*n**2*x**2*(a + b*x)**n
/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 107*b**5*c**3*n*x**2*(a +
b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 60*b**5*c**3*x**2
*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 3*b**5*c**2*
d*n**4*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 3
6*b**5*c**2*d*n**3*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 1
20*b**5) + 147*b**5*c**2*d*n**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 2
74*b**5*n + 120*b**5) + 234*b**5*c**2*d*n*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**
5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 120*b**5*c**2*d*x**3*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 +
225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 3*b**5*c*d**2*n**4*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*
b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 33*b**5*c*d**2*n**3*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**
5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 123*b**5*c*d**2*n**2*x**4*(a + b*x)**n/(b**5*
n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 183*b**5*c*d**2*n*x**4*(a + b*x)
**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 90*b**5*c*d**2*x**4*(a
+ b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + b**5*d**3*n**4*
x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5) + 10*b**5*
d**3*n**3*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n + 120*b**5)
+ 35*b**5*d**3*n**2*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b**5*n +
120*b**5) + 50*b**5*d**3*n*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 274*b*
*5*n + 120*b**5) + 24*b**5*d**3*x**5*(a + b*x)**n/(b**5*n**5 + 15*b**5*n**4 + 85*b**5*n**3 + 225*b**5*n**2 + 2
74*b**5*n + 120*b**5), True))

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.24405, size = 1762, normalized size = 11.44 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x*(b*x+a)^n*(d*x+c)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

((b*x + a)^n*b^5*d^3*n^4*x^5 + 3*(b*x + a)^n*b^5*c*d^2*n^4*x^4 + (b*x + a)^n*a*b^4*d^3*n^4*x^4 + 10*(b*x + a)^
n*b^5*d^3*n^3*x^5 + 3*(b*x + a)^n*b^5*c^2*d*n^4*x^3 + 3*(b*x + a)^n*a*b^4*c*d^2*n^4*x^3 + 33*(b*x + a)^n*b^5*c
*d^2*n^3*x^4 + 6*(b*x + a)^n*a*b^4*d^3*n^3*x^4 + 35*(b*x + a)^n*b^5*d^3*n^2*x^5 + (b*x + a)^n*b^5*c^3*n^4*x^2
+ 3*(b*x + a)^n*a*b^4*c^2*d*n^4*x^2 + 36*(b*x + a)^n*b^5*c^2*d*n^3*x^3 + 24*(b*x + a)^n*a*b^4*c*d^2*n^3*x^3 -
4*(b*x + a)^n*a^2*b^3*d^3*n^3*x^3 + 123*(b*x + a)^n*b^5*c*d^2*n^2*x^4 + 11*(b*x + a)^n*a*b^4*d^3*n^2*x^4 + 50*
(b*x + a)^n*b^5*d^3*n*x^5 + (b*x + a)^n*a*b^4*c^3*n^4*x + 13*(b*x + a)^n*b^5*c^3*n^3*x^2 + 30*(b*x + a)^n*a*b^
4*c^2*d*n^3*x^2 - 9*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c*d^2*n^3*x^2 + 147*(b*x + a)^n*b^5*c^2*d*n^2*x^3 + 51*(b*x + a)^n*a*b
^4*c*d^2*n^2*x^3 - 12*(b*x + a)^n*a^2*b^3*d^3*n^2*x^3 + 183*(b*x + a)^n*b^5*c*d^2*n*x^4 + 6*(b*x + a)^n*a*b^4*
d^3*n*x^4 + 24*(b*x + a)^n*b^5*d^3*x^5 + 12*(b*x + a)^n*a*b^4*c^3*n^3*x - 6*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c^2*d*n^3*x +
59*(b*x + a)^n*b^5*c^3*n^2*x^2 + 87*(b*x + a)^n*a*b^4*c^2*d*n^2*x^2 - 54*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c*d^2*n^2*x^2 + 1
2*(b*x + a)^n*a^3*b^2*d^3*n^2*x^2 + 234*(b*x + a)^n*b^5*c^2*d*n*x^3 + 30*(b*x + a)^n*a*b^4*c*d^2*n*x^3 - 8*(b*
x + a)^n*a^2*b^3*d^3*n*x^3 + 90*(b*x + a)^n*b^5*c*d^2*x^4 - (b*x + a)^n*a^2*b^3*c^3*n^3 + 47*(b*x + a)^n*a*b^4
*c^3*n^2*x - 54*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c^2*d*n^2*x + 18*(b*x + a)^n*a^3*b^2*c*d^2*n^2*x + 107*(b*x + a)^n*b^5*c^3
*n*x^2 + 60*(b*x + a)^n*a*b^4*c^2*d*n*x^2 - 45*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c*d^2*n*x^2 + 12*(b*x + a)^n*a^3*b^2*d^3*n*
x^2 + 120*(b*x + a)^n*b^5*c^2*d*x^3 - 12*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c^3*n^2 + 6*(b*x + a)^n*a^3*b^2*c^2*d*n^2 + 60*(b
*x + a)^n*a*b^4*c^3*n*x - 120*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c^2*d*n*x + 90*(b*x + a)^n*a^3*b^2*c*d^2*n*x - 24*(b*x + a)^
n*a^4*b*d^3*n*x + 60*(b*x + a)^n*b^5*c^3*x^2 - 47*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c^3*n + 54*(b*x + a)^n*a^3*b^2*c^2*d*n -
18*(b*x + a)^n*a^4*b*c*d^2*n - 60*(b*x + a)^n*a^2*b^3*c^3 + 120*(b*x + a)^n*a^3*b^2*c^2*d - 90*(b*x + a)^n*a^
4*b*c*d^2 + 24*(b*x + a)^n*a^5*d^3)/(b^5*n^5 + 15*b^5*n^4 + 85*b^5*n^3 + 225*b^5*n^2 + 274*b^5*n + 120*b^5)